Aumont, jenž byl třikrát nominovaný na Cézara, exceloval především ve vedlejších rolích, nejčastěji jako policista nebo politik.
Aumont točil s Claudem Chabrolem nebo s Bertrandem Tavernierem či Claudem Zidim a celkem se objevil zhruba ve 150 filmech. Herec, kterého AFP označila za divadelního giganta, si rovněž zahrál ve stovce divadelních představení. Na prknech divadla Comédie-Française po dvacet let ztvárňoval titulní roli Harpagona v Molièrově Lakomci.
Pařížský rodák začal v divadle vystupovat už jako dítě, jeho matka byla herečka, a na divadelních prknech se prosadil v 60. let. Nebránil se žádným rolím, hrál v kusech od Williama Shakespeara, Woodyho Allena i Samuela Becketta a spolupracoval s renomovanými divadelními režiséry. Ve filmu se začal objevovat v 70. letech.
Aumont byl ženatý a měl jednoho syna. V roce 2002 v jednom rozhovoru přiznal někdejší problémy s alkoholem. Za svůj hlavní povahový rys označoval naivitu a stěžoval si na nedostatek sebedůvěry.
